Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika: May 2012

Thursday, May 31, 2012

Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan asli lebih besar dari 1 dan jika dan hanya jika pembagi positif dari bilangan itu hanya bilangan itu sendiri dan bilangan 1.
Bisa juga dikatakan bahwa bilangan prima adalah bilangan yang habis dibagi plus minus dirinya sendiri dan plus minus 1. Misalnya 37. 37 hanya habis dibagi plus minus dirinya sendiri dan habis dibagi plus minus 1. Bilangan prima yang pertama adalah : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …
Dalam bentuk tabel semua bilangan prima dari 1 sampai 100 bisa kita tuliskan sebagai berikut :

$2$	$3$	$5$	$7$	$11$
$13$	$17$	$19$	$23$	$29$
$31$	$37$	$41$	$43$	$47$
$53$	$59$	$61$	$67$	$71$
$73$	$79$	$83$	$89$	$97$

Bilangan prima tersebut hanya satu yang merupakan bilangan genap, yaitu $2$ . Karena bilangan genap selanjutnya merupakan bilangan kelipatan $2$ , sehingga bilangan genap selain $2$ adalah bilangan komposit

Sifat-sifat yang cukup penting berhubungan dengan bilangan prima.

Semua bilangan prima adalah ganjil kecuali 2.
Banyaknya bilangan prima adalah tak terhingga.
Bilangan yang berakhiran (angka satuannya) 2, 4, 5, 6, 8, dan 0 adalah bukan bilangan prima. kecuali bilangan 2 dan 5.
Teorema Hadamard Poussin mengatakan bahwa, Banyaknya bilangan prima untuk x mendekati tak terhingga dinyatakan dengan pendekatan mendekati $\frac{x}{ln \, x}$

Dari sifat nomor 1 dikatakan bahwa semua bilangan prima adalah ganjil kecuali 2.
Dua bilangan prima yang ganjil yang berurutan disebut bilangan prima kembar.
Bisa dituliskan p dan p+2. Dan keduanya merupakan bilangan prima. Mempunyai selisih 2.
Berikut adalah beberapa pasangan-pasangan prima kembar.

(3 dan 5), (5 dan 7), (11 dan 13), (17 dan 19), (29 dan 31)

Apakah hanya pasangan-pasangan seperti itu yang merupakan pasangan bilangan prima kembar ?
Sekarang perhatikan dua bilangan berikut

100000000061 dan 100000000063 .

Keduanya merupakan bilangan prima. Dan selisih dua bilangan tersebut adalah 2. Jadi bisa dikatakan bahwa dua bilangan tersebut adalah pasangan prima kembar.

Perumusan bilangan prima yang gagal

Belum ada yang bisa menemukan secara pasti tentang perumusan bilangan prima. Di bawah ini akan diberikan beberapa perumusan yang gagal menghasilkan bilangan prima secara keseluruhan.

1. $F(n)=n^2-n+41$

Pernah diduga bahwa fungsi $F(n)=n^2-n+41$ menghasilkan bilangan prima untuk n bilangan asli. Bisa dicheck untuk n = 1, 2, 3, 4, dst. Tetapi ternyata rumus ini gagal ketika n = 41.
Karena $F(41)=41^2$ . bukan merupakan bilangan prima.
Sekarang bagaimana dengan rumus $F(n)=n^2+n+41$ .
Coba temukan, untuk n berapakah dia tidak prima.

2. $G(n)=2^{2^n}+1$

Ini adalah hasil pekerjaan Fermat. Fermat pernah menduga bahwa rumus tersebut adalah menghasilkan bilangan prima. Untuk n = 0, 1, 2, 3, 4 ini merupakan benar bilangan prima. Tetapi pertumbuhan bilangannya sangat besar, sehingga orang malas menguji kebenaran bilangan itu untuk n yang selanjutnya.
Tetapi pada tahun 1732 Leonhard Euler membuktikan bahwa untuk n = 5, G(5) = 4.294.967.297 bukan merupakan bilangan prima, karena nilai itu sama dengan 641 x 6.700.417.
Kemudian pada tahun 1880, F. Landry menunjukkan bahwa untuk n = 6 juga bukan bilangan prima.
Dan pada awal tahun 1970 untuk n = 7 juga bukan merupakan bilangan prima.
Dengan menggunakan computer terbukti yang merupakan bilangan prima hanya lima angka pertama saja.

3. $2^p-1$ .
Dinyatakan oleh Marin Marsenne dari Perancis. Dia menyatakan bahwa untuk p bilangan prima maka bentuk $2^p-1$ merupakan bilangan prima. Marsenne tahu bahwa untuk p = 11 akan didapatkan 2047. Yang ternyata angka tersebut bukan merupakan bilangan prima karena 2047 = 23 x 89, akan tetapi Marsenne yakin bahwa untuk p > 11, bilangan yang dihasilkan pasti bilangan prima.
Tetapi pada tahun 1903, untuk p = 67 dihasilkan 147573952588676412927 yang bukan merupakan bilangan prima karena bilangan itu sama dengan perkalian dari 193707721 x 761838257287.

Salah satu cara mencari bilangan prima yang benar yaitu menggunakan cara yang dilakukan oleh Erastothenes dari Kirene yang dikenal dengan Sieve of Erastothenes.
Langkah ini banyak digunakan siswa SD saat pengenalan bilangan prima pada saat sekolah dasar. Biasanya untuk siswa setingkat SD, bilangan prima yang dicari dibatasi dari 0 sampai 100. Dibawah ini diberikan langkah-langkah mencari bilangan prima dari 0 sampai 100.

Langkah-langkahnya :
Buat tabel bilangan berukuran 10 x 10

Coret bilangan 1 karena bukan prima
Lingkari angka 2 dan coret kelipatan 2
Lingkari angka 3 dan coret kelipatan 3
Lingkari angka 5 dan coret kelipatan 5
Lingkari angka 7 dan coret kelipatan 7

Maka nanti angka yang dilingkari dan yang belum dicoret merupakan bilangan prima.

Ukuran table bilangan tidak menjadi masalah. Hanya saja ketika table itu rapi, maka kita akan semakin mudah dalam melakukan pencoretan.
Tabel yang mudah untuk dilakukan pencoretan adalah table yang lebarnya 10 satuan atau 5 satuan. Disarankan menggunakan table seperti itu agar pencoretan lebih mudah dilakukan.

Teorema :

“Untuk setiap bilangan majemuk n ada bilangan prima p sehingga p membagi n dan p kurang dari atau sama dengan akar n”

Dari Teorema tersebut dapat disimpulkan bahwa, untuk mengecek bilangan prima dibawah n, maka kita perlu memperhatikan akar n, pencoretan hanya berhenti pada akar n atau kurang dari akar n.
Misalnya, kita akan mengecek bilangan prima dibawah 200 (0 sampai 200). Maka yang perlu kita cek hanya sampai 13. Karena bilangan prima terbesar yang lebih kecil dari akar 200 adalah 13. $\sqrt{200}=14,14...$ . Sehingga kita hanya perlu mengecek kelipatan 2, 3, 5, 7, 11, dan 13.

Tentang prima yang lain :

Jika p merupakan bilangan prima dan $n^2$ habis dibagi p maka $n^2$ juga akan habis dibagi p.
Setiap bilangan asli lebih besar 1 yang merupakan bilangan majemuk (bilangan majemuk adalah bilangan asli yang bukan prima) bisa dituliskan dalam perkalian beberapa bilangan prima. Ini adalah teorema faktorisasi.
Misalkan p adalah bilangan prima. Jika p membagi ab maka p membagi a dan p membagi b. dalam notasi teori bilangan dituliskan jika $p \mid ab$ maka $p \mid a$ atau $p \mid b$ .
Conjecture yang menarik. Setiap bilangan genap dapat dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan prima. Umumnya dapat dinyatakan dalam satu cara. Ada juga yang dapat dinyatakan dalam dua cara, tiga cara, dst. Conjecture ini dikemukakan oleh Goldbach. Sampai saat ini masih belum ada yang bisa mebuktikan.
Ini adalah deret yang dibuat fermat. Yaitu yang terdiri dari bilangan factorial. Deret ini adalah deret bilangan prima yang gagal. Beberapa suku awal menghasilkan bilangan prima. Akan tetapi selanjutnya gagal menghasilkan bilangan prima.

3! – 2! + 1! = 5

4! – 3! + 2! – 1! = 19

5! – 4! + 3! – 2! + 1! = 101

6! – 5! + 4! – 3! + 2! – 1! = 619

7! – 6! + 5! – 4! + 3! – 2! + 1! = 4421

8! – 7! + 6! – 5! + 4! – 3! + 2! – 1! = 35899

Sampai di sini, semua bilangan yang terbentuk adalah bilangan prima. Sungguh unik bukan. Tetapi lanjutan dari deret ini bukan bilangan prima.

9! – 8! + 7! – 6! + 5! – 4! + 3! – 2! + 1! = 326981

326981 bukanlah merupakan bilangan prima. Karena 326981 = 79 x 4139.
Deret ini gagal menghasilkan bilangan prima.

13 adalah satu dari banyak bilangan prima yang lain. Banyak juga orang yang menyebut bahwa 13 adalah angka sial. Sekarang kita perhatikan jika 1 dibagi angka 13 tersebut.

$\frac{1}{13}=0,076923076923 \dots$ angka 076923 akan berulang terus.

Dan ternyata, angka ini unik jika dikalikan dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, dan 12. Bilangan yang dihasilkan adalah bilangan 076923 dan 153846 dengan urutan digit-digitnya yang berbeda.

(153846 = 2 x 3 x 3 x 3 x 7 x 11 x 37)

1 x 076923 = 076923

2 x 076923 = 153846

3 x 076923 = 230769

4 x 076923 = 307692

5 x 076923 = 384615

6 x 076923 = 461538

7 x 076923 = 538461

8 x 076923 = 615384

9 x 076923 = 692307

10 x 076923 = 769230

11 x 076923 = 846153

12 x 076923 = 923076

Tips Hitung Cepat Metode Metris

Perkalian ab x ac :

Notasi pagar Metris |,||,… : ”kotak” yang berisi tepat 1,2,… angka, bila kurang tambahkan nol dalam “kotak” tsb tanpa mengubah nilai.

PORTAL Perkalian Metris, ab × ac = a×(a+1)||b×c, syarat b+c=10,

23 × 27 = 2×(2+1)||3×7 = 6||21 = 621,

61 × 69 = 6×(6+1)||1×9 = 42||09 = 4209.

Latihan :
52 × 58 = ?,
79 × 71 = ?,
96 × 94 = ?
Kunci : 3016, 5609, 9024

Perkalian ab x cd :

Notasi pagar Metris |,||,… atau |₁,|₂ ,… : ”kotak” yang berisi tepat 1,2,… angka,

a. bila lebih sisanya dipindah ke “kotak” sebelah kiri & dijumlahkan,

b. bila kurang tambahkan nol dalam “kotak” tsb tanpa mengubah nilai.

Portal Perkalian Metris: ab × cd = a×c|a×d+b×c|b×d
13 × 14 = 1×1|1×4+3×1|3×4 = 1|7|12 = 182
72 × 43 = 7×4|7×3+2×4|2×3 = 28|29|6 = 3096
67 × 89 = 6×8|6×9+7×8|7×9 = 48|110|63 = 5963
Latihan :
52 × 23 = ?,
87 × 32 = ?,
96 × 78 = ?
Kunci : 1196, 2784, 7488

Perkalian ab0...0ab x cd0...0cd :

Notasi pagar Metris |,||,… atau |₁,|₂ ,… : ”kotak” yang berisi tepat 1,2,… angka,

a. bila lebih sisanya dipindah ke “kotak” sebelah kiri & dijumlahkan,

b. bila kurang tambahkan nol dalam “kotak” tsb tanpa mengubah nilai.

Portal Kali (ab00ab = ab|₄ ab dan cd00cd = cd|₄ cd ),

bila A = ab×cd maka: ab00ab × cd00cd = A |₄ 2×A |₄ A ,

Portal Kali (ab000ab = ab|₅ ab dan cd000cd = cd|₅ cd ),

bila A = ab×cd maka: ab000ab × cd000cd = A |₅ 2×A |₅ A ,

Portal Kali (ab0000ab = ab|₆ ab dan cd00cd = cd|₆ cd ),

bila A = ab×cd maka: ab0000ab × cd0000cd = A |₆ 2×A |₆ A .

50.005 × 70.007 = 35|₄ 70 |₄ 35 = 35 0070 0035,
2.400.024 × 2.600.026 = 624|₅ 1248|₅ 624 = 624 01248 00624,
240.000.024 × 260.000.026 = 624|₇ 1248|₇ 624 = 624 0001248 0000624,
Latihan :
9.00.009 × 7.00.007 = ?,
17.000.017 × 13.000.013 = ?

Kunci : 630012600063, 221000442000221.

Kuadrat a5 :
Notasi pagar Metris |,||,… : “kotak” yang berisi tepat 1,2,… angka, bila lebih sisanya dipindah ke “kotak” sebelah kiri & dijumlahkan.
Portal Kuadrat a5, a5^2 = a×(a+1)||25,
45^2 = 4×(4+1)||25 = 20||25 = 2025,
105^2 = 10×(10+1)||25 = 110||25 = 11025,
Latihan :
65^2 = ?,
85^2 = ?,
115^2 = ?
Kunci : 4225, 7225, 13225

Kuadrat ab :

Notasi pagar Metris |,||,… atau |₁,|₂ ,… : ”kotak” yang berisi tepat 1,2,… angka,

a. bila lebih sisanya dipindah ke “kotak” sebelah kiri & dijumlahkan,

b. bila kurang tambahkan nol dalam “kotak” tsb tanpa mengubah nilai.

Portal Kuadrat Metris: ab^2 = a^2|2×a×b|b^2
13^2 = 1^2|2×1×3|3^2 = 1|6|9 = 169
42^2 = 4^2|2×4×2|2^2 = 16|16|4 = 17|6|4 = 1764
57^2 = 5^2|2×5×7|7^2 = 25|70|49 = 32|4|9 = 3249
Latihan :
18^2 = ?,
39^2 = ?,
74^2 = ?
Kunci : 324, 1521, 5476

Kuadrat ab00ab :

Notasi pagar Metris |,||,… atau |₁,|₂ ,… : ”kotak” yang berisi tepat 1,2,… angka,

a. bila lebih sisanya dipindah ke “kotak” sebelah kiri & dijumlahkan,

b. bila kurang tambahkan nol dalam “kotak” tsb tanpa mengubah nilai.

Portal Kuadrat ab00ab, bila A = ab^2 maka: ab00ab^2 = A |₄ 2×A |₄ A

50005^2 = 25|₄ 50 |₄ 25 = 25 0050 0025,
250025^2 = 625|₄ 1250|₄ 625 = 625 1250 0625,
Latihan :
90009^2 = ?,
150015^2 = ?,
350035^2 = ?

Kunci : 8101620081, 22504500225, 122524501225

Kuadrat ab0...0ab :

Notasi pagar Metris |,||,… atau |₁,|₂ ,… : ”kotak” yang berisi tepat 1,2,… angka,

a. bila lebih sisanya dipindah ke “kotak” sebelah kiri & dijumlahkan,

b. bila kurang tambahkan nol dalam “kotak” tsb tanpa mengubah nilai.

Portal Kuadrat (ab00ab = ab|₄ ab), bila A = ab^2 maka: ab00ab^2 = A |₄ 2×A |₄ A

Portal Kuadrat (ab000ab = ab|₅ ab), bila A = ab^2 maka: ab00ab^2 = A |₅ 2×A |₅ A

Portal Kuadrat (ab0000ab = ab|₆ ab), bila A = ab^2 maka: ab00ab^2 = A |₆ 2×A |₆ A

50.005^2 = 25|₄ 50 |₄ 25 = 25 0050 0025,
2.500.025^2 = 625|₅ 1250|₅ 625 = 625 01250 00625,
250.000.025^2 = 625|₇ 1250|₇ 625 = 625 0001250 0000625,
Latihan :
9.00.009^2 = ?,
15.000.015^2 = ?,
3.500.000.035^2 = ?

Kunci : 810016200081, 225000450000225, 12250000245000001225
Pangkat Bilangan 11 (Orde Tinggi) :

Notasi pagar Metris |,||,… atau |₁,|₂ ,… : ”kotak” yang berisi tepat 1,2,… angka,

a. bila lebih sisanya dipindah ke “kotak” sebelah kiri & dijumlahkan,

b. bila kurang tambahkan nol dalam “kotak” tsb tanpa mengubah nilai.

Tabel: Segitiga Paskal

Pangkat (n)
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1

Portal Pangkat 11, (1|_m 1)^n = 1|_m a|_m b|_m … |_m 1 ; nilai a,b,…: lihat tabel

11^3 = (1|1)^3 = 1| 3 | 3 | 1 = 1331,
11^5 = (1|1)^5 = 1|5|10|10|5|1 = 1|6|1|0|5|1 = 161051
101^4 = (1||1)^4 = 1||04||06||04||01 = 104060401
Latihan :
101^3 = ?,
11^6 = ?,
101^5 = ?
Kunci : 1030301, 1771561, 10510100501

Gen Metris :
142857 + 428571 = ?
1 + 4 = 5 diikuti dengan bilangan setelahnya, jadi 571428

142857 x 6 = ?
6 x 14 = 84, angka 8 diikuti dengan bilangan setelahnya, jadi 857142

142857 x 23 = ?
23 / 7 = 3 sisa 2
2 x 14 = 28, angka 2 diikuti dengan bilangan setelahnya, jadi 285714
Hasilnya adalah 3_285714 - 3 = 3285711

Tuesday, May 29, 2012

SOAL LATIHAN OLIMPIADE

Untuk setiap m, kurva y=(m−1)x+n+2 selalu melalui titik A. Koordinat titik A adalah ...
Angka satuan dalam 31001.71002.131003 adalah ...
Banyaknya digit dalam 416 x 525 jika dituliskan dalam bilangan tidak berpangkat adalah ....
Sebuah toko menetapkan harga suatu barang dalam dollar dan cents demikian hingga jika ditambahkan pajak penjualan 4%, tidak perlu diadakan pembulatan sebab hasilnya tepat n dollar. Nilai terkecil untuk n adalah ...
Andaikan x = 0,123456789101112...998999 yang angkanya diperoleh dengan menuliskan berurutan dari 1 hingga 999. Angka ke 1983 di sebelah kanan desimal adalah...
Jika a dan b adalah bilangan real positif dan masing-masing persamaan x2+ax+2b=0 dan x2+2bx+a=0 mempunyai akar real. Nilai minimun a + b = ....
Luas permukaan suatu balok adalah 22 cm2 dan panjang semua rusuk-rusuknya 24 cm. Panjang diagonal ruangnya adalah ....
12+44+98+1616+2532+...= ...
Jika diketahui bahwa 14y2−20y+48−−−−−−−−−−−−−√+14y2−20y−15−−−−−−−−−−−−−√=9, maka tentukan nilai dari 14y2−20y+48−−−−−−−−−−−−−√−14y2−20y−15−−−−−−−−−−−−−√.
15−10+1+15−9+1+...+15−1+1+150+1+...+1510+1=
Tiga orang pelari A, B, dan C berlomba dengan menempuh lintasan yang sama. Ketika pelari A mencapai finish, pelari B tertinggal 12 yard dan pelari C tertinggal 18 yard. Sedangkan pelari B mencapai finish, pelari C masih tertinggal 8 yard. Berapakah panjang lintasan yang mereka tempuh jika diasumsikan mereka berlari dengan kecepatan konstan?(dalam yard)
5x+1−51−x=11. Tentukan nilai x!
Nilai dari 1+28.29.30.31−−−−−−−−−−−−√ adalah ...
Dari gambar di samping, ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ...
Koordinat titik pada garis y = 2x-15 yang terdekat dengan titik asal adalah ...
Diketahui seperti tergambar di atas. Titik A, B, dan C terletak pada lingkaran yang berpusat di O. Jika ∠AOC=60∘, maka ∠OCB−∠OAB= ...

Jawaban :

1.

y=(m−1)x+m+2
Kita tidak dapat mengetahui nilai

m-nya karena nilai dari

m tersebut sebarang.
Yang dicari di soal ini adalah untuk sebarang nilai

m kita harus mencari koordinat yang selalu dilewati grafik tersebut.
Perhatikan untuk

x=−1 nilai dari

y tidak tergantung nilai dari

m,
maka subtitusi

x=−1 kita dapat

y=3.
Berarti koordinat yang selalu dilalui adalah titik

(−1,3)

2. Angka satuan sama dengan sisa pembagian dengan

10.

31001 \cdot 71002 \cdot 131003 (mod 10) = = = = = (3 \cdot 7) 1001 \cdot 7 \cdot 31003 (mod 10) 1 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 31002 (mod 10) 31002 (mod 10) 3 4 k + 2 (mod 10) 9 (mod 10) .

3. Jawabannya

28 digit.

416 \cdot 525 = = = = 232 \cdot 525 (2 \cdot 5) 25 \cdot 27 128 \cdot 1025 128000 \dots 0              28 digit .

4. x + 0.04x = n, 1,04x = n, x > 10, 0,4x = 1, x = 2.5, x = 10 + 2.5 = 12.5
diperoleh

n terkecil

13 dengan harga sebelum pajak

12,50 dollar

5. Angka dua digit habis pada

9+90.2=189 digit pertama.

Sehingga masih dibutuhkan

1983−189=1794

Angka itu diperoleh

17943=598, jadi angka ke-

1983 adalah

6. x^2 + ax + 2b = x^2 + 2bx + a = 0. Karena a dan b positif, maka x harus negatif.
Misalkan x = -1
1 - a + 2b = 0, a = 1 + 2b
1 - 2b + a = 0
1 - 2b + 1 + 2b <> 0
Misalkan x = -2
4 - 2a + 2b = 0, a = 2 + b
4 - 4b + 2 + b = 0
6 - 3b = 0, b = 2, a = 5
a + b = 5 + 2 = 7
7. Perhatikan bahwa diagonal ruang suatu balok adalah

p2+l2+t2−−−−−−−−−√. Dari luas permukaan balok didapat persamaan

2 (p l + l t + t p) p l + l t + t p = = 22 11.

Dari panjang sisi-sisi balok didapat

4 (p + l + t) p + l + t = = 24 6.

Maka diagonal ruangnya didapat dengan cara

p 2 + l 2 + t 2 p 2 + l 2 + t 2 - - - - - - - - - \sqrt = = = = (p + l + t) 2 - 2 (p l + l t + t p) 36 - 22 14 14 - - \sqrt .

8. Un = n^2 / 2^n,
Sn = 1/2n (a + Un) = 1/2n (1/2 + n^2 / 2^n) = n/4 + n^3 / 2^(n+1)

9. Idenya sederhana.

x 9 x 9 x 9 x x = = = = = 14 y 2 - 20 y + 48 - - - - - - - - - - - - - \sqrt - 14 y 2 - 20 y - 15 - - - - - - - - - - - - - \sqrt (14 y 2 - 20 y + 48 - - - - - - - - - - - - - \sqrt + 14 y 2 - 20 y - 15 - - - - - - - - - - - - - \sqrt) (14 y 2 - 20 y + 48 - - - - - - - - - - - - - \sqrt - 14 y 2 - 20 y - 15 - - - - - - - - - - - - - \sqrt) 14 y 2 - 20 y + 48 - (14 y 2 - 20 y - 15) 63 7.

10. Perhatikan bahwa

15−a+1+15a+1=1. Maka

= = = 1 5 - 10 + 1 + 1 5 - 9 + 1 + \dots + 1 5 - 1 + 1 + 1 5 0 + 1 + \dots + 1 5 10 + 1 10 + 1 5 0 + 1 10 1 2 21 2 .

11. S = Va x t1, S = Vb x t1 + 12, S = Vc x t1 + 18, S = Vb x t2, S = Vc x t2 + 8
t1 = S / Va, S = VbS/Va + 12, S = VcS/Va + 18, t2 = S / Vb, S = VcS/Vb +8
VbS/Va + 12 = VcS/Va + 18, VbS = VcS + 8Vb
(Vb - Vc)S = 6Va, (Vb - Vc)S = 8Vb
6Va = 8Vb
Va = 4/3Vb
S = VbS/Va + 12
S = 3S/4 + 12
S/4 = 12
S = 48 yard

12.

13. Bentuk tersebut merupakan penjabaran dari bentuk (n(n+1) – 1)²
Karena (n(n+1) – 1)² = (n-1)n(n+1)(n+2) + 1
Akar kuadrat dari (n(n+1) – 1)²= n(n+1) – 1
Jadi, akar kuadrat dari 1+28.29.30.31= 29.30-1= 869.

14.

15. Titik A (7.5, 0), titik B (0, -15)
Luas Segitiga OAB = 1/2 x 15 x 7.5 = 56.25
Garis AB = akar(7.5^2 + 15^2) = 16.77
1/2 x 16.77 x t = 56.25, t = 6.7

16.Misalkan BOC = X.
Maka OCB = (180 - X) / 2 = 90 - X/2
Dan OAB = (180 - (60 + X)) / 2 = 60 - X/2
OCB - OAB = 90 - X/2 - (60 - X/2) = 30

Buktinya :
OA = OB = OC, AOC = OAC = OCA = 60.
Jika OA // BC, maka OCB = 60, dan BOC = 60
Sehingga BOA = 60 + 60 = 120, OAB = OBA = 30
OCB - OAB = 60 - 30 = 30

Jika BO dan OA segaris (OAB = OBA = 0), maka BOC = 120
Sehingga OCB = OBC = 30
OCB - OAB = 30 - 0 = 30

Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika

Winalite

Thursday, May 31, 2012

Bilangan Prima

Tips Hitung Cepat Metode Metris

Tuesday, May 29, 2012

SOAL LATIHAN OLIMPIADE

Translate

Followers