Barisan dan Deret (Aritmatika dan Geometri)

A. Barisan aritmatika

U1, U2, U3, .......U(n-1), Un disebut barisan aritmatika, jika U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - U(n-1) = konstanta.

Konstanta selisih ini disebut juga beda b = Un - Un-1

Suku ke-n barisan aritmatika U1 = a, U2 = a + b, U3 = a + 2b, ......... , Un = a + (n-1)b.

Rumus Suku ke-n :

Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n

B. Deret aritmatika

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1)b) disebut deret aritmatika.

a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku

Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:
1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0 dan barisan aritmatika akan turun jika b < 0
3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"
4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.
5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n
6. Jika 3 bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan, susunlah bilangan-bilangan itu menjadi a - b , a , a + b

C. Barisan Geometri

U1, U2, U3, ......., U(n-1), Un disebut barisan geometri, jika U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / U(n-1) = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio r = Un / U(n-1)

Suku ke-n barisan geometri

U1 = a, U2 = ar, U3 = ar², ......, Un = ar^(n-1)

Suku ke-n Un = ar^(n-1) ® fungsi eksponen (dalam n)

D. Deret Geometri

a + ar² + ....... + ar^(n-1) disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn = a(r^n-1)/r-1, jika r > 1 atau Sn = a(1-r^n)/1-r , jika r < 1 ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:
a. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
b. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku Un > U(n-1)
c. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku Un < U(n-1)
d. Bergantian naik turun, jika r < 0
e. Berlaku hubungan Un = Sn - S(n-1)
f. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah Ut = Ö U1xUn = Ö U2 X Un-1 dst.
f. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar