Soal Olimpiade Matematika 1

1. Nilai dari  1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+ ... + 2007+2008-2009-2010+2011 =
2. Jumlah angka-angka dari hasil operasi bilangan 666.666^2 - 333.333^2 adalah 
3. p adalah bilangan bulat positif. Jika p x 44.296 membentuk bilangan kuadrat.
Berapakah nilai p agar membentuk bilangan kuadrat terkecil ?
4. x adalah bilangan yang habis dibagi oleh bilangan dari 1 sampai dengan 12.
Berapakah nilai terkecil dari x ?
5. a x b = c Jika a ditambah 24 maka c bertambah 120. Dan jika b ditambah 24 maka c bertambah 288.
Berapakah nilai c ?
6. Berapakah angka satuan dari 3^555 ?
7. Berapakah sisa pembagian  3^33 dibagi 4 ?
8. Bilangan 6a47b habis dibagi 8. Untuk a dan b bilangan bulat, berapakah nilai terkecil a-b ?
9. 3 # 5 = 16, 4 # 2 = 12 dan 5 # 6 = 11
Nilai dari  8 # 9 = ... .
10. (1/2) + (1/3 + 2/3) + (1/4 + 2/4 + 3/4) + (1/5 + 2/5 + 3/5 + 4/5) + ... + (1/2010 + 2/2010 + 3/2010 + ... + 2009/2010) = ... .

Pembahasan :

Nomor 1 :
1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+ ... + 2007+2008-2009-2010+2011 = ... .
1 + (2-3) + (-4+5) + (6-7) + (-8+9)... (2008-2009) + (-2010+2011)
= 1+(-1+1-1+1+ ....-1+1)
= 1 + 0
= 1

Nomor 2 :
(2x333.333)^2 - 333.333^2 =
 4 x 333.333^2 - 333.333^2 =
 3 x 333.333^2 =
(300000+30000+3000+300+30+3)^2 =
90.000.000.000+
18.000.000.000+
  1.800.000.000+
     180.000.000+
       18.000.000+
         1.800.000+
     900.000.000+
     180.000.000+
       18.000.000+
         1.800.000+
            180.000+
         9.000.000+
         1.800.000+
            180.000+
              18.000+
              90.000+
              18.000+
                1.800+
                   900+
                   180+
                       9
-------------------
111.110.888.889
                      x 3
Hasilnya 333.332.666.667, jumlah digitnya 12, jumlah dari angka-angkanya 54

Nomor 3 :
p x 44.296 = a^2
Faktorisasi 44.296, karena genap pasti dibagi 2.
44.296 / 2 = 22.148 / 2 = 11.074 / 2 = 5.537 / 7 = 791 / 7 = 113
44.296 = 2x2x2x7x7x113 = 2^2 x 7^2 x 2 x 113
Supaya p x 44.296 berbentuk bilangan kuadrat, maka nilai p = 2 x 113 = 226

Nomor 4 :
2x2x2x3x3x5x7x11 = 27.720

Nomor 5 :
a x b = c
(a + 24) x b = c + 120
ab + 24b = c + 120
b = 120 / 24 = 5
a x (b + 24) = c + 288
ab + 24a = c + 288
a = 288 / 24 = 12
c = 12 x 5 = 60

Nomor 6 : 
Angka 7, karena angka satuan 3^x akan berulang setiap x kelipatan 4.
3^1 =     3
3^2 =     9 
3^3 =   27
3^4 =   81
3^5 = 243 dst.
Sehingga angka satuan 3^555 = 3^555 mod 4 = 3^3 = 27 adalah 7

Nomor 7 : 
Sisa 3, karena angka satuan 3^x akan berulang setiap x kelipatan 4.
3^1 =     3 mod 4 = 3
3^2 =     9 mod 4 = 1
3^3 =   27 mod 4 = 3 (7 mod 4 = 3)
3^4 =   81 mod 4 = 1 (1 mod 4 = 1)
3^5 = 243 mod 4 = 3 (3 mod 4 = 3) dst.
Sehingga 3^33 mod 4 = 3^1 mod 4 = 3

Nomor 8 :
Ciri bilangan habis dibagi 8, bila 3 digit terakhir habis dibagi 8, karena kelipatan 1000 habis dibagi 8.
Maka a = 0. Bilangan habis dibagi 8 adalah genap, kita coba masukkan 0 --> 470, tidak habis dibagi 8, kita coba masukkan 2 --> 472, habis dibagi delapan, jadi b = 2, sehingga a - b = -2.

Nomor 9 :
3 # 5 = 16, <==> 25-9 = 16
4 # 2 = 12, <==> 16-4 = 12
5 # 6 = 11, <==> 36-25 = 11
Definisi # adalah selisih kuadrat
Nilai dari 8 # 9 = 81-64 = 17

Nomor 10
(1/2) + (1/3 + 2/3) + (1/4 + 2/4 + 3/4) + (1/5 + 2/5 + 3/5 + 4/5) + ... + (1/2010 + 2/2010 + 3/2010 + ... + 2009/2010) = ... .
= 1/2 + 2/2 + 3/2 + 4/2 + 5/2 + ... + 39/2
= (1+2+3+4+ ... + 39)/2
= [1/2 x 39 x (39+1)] / 2
= (39 x 20) / 2
= 390