0,999... = 1 ?

Sebelumnya kita jelaskan dahulu tanda "..." pada 0,999... berarti angka '9' tak terhingga.

Bukti 1 :

1/3 = 0,333...
2/3 = 0,666...
--------------- +
3/3 = 0,999...

Jadi 0,999... = 1, karena 3/3 = 1.

Bukti 2 :

1/9 = 0,111...
-------------- x9
9/9 = 0,999...

Jadi 0,999... = 1, karena 9/9 = 1.

Bukti 3 :

x = 0,999...
------------- x10
10x = 9,999...
10x - x = 9,999... - 0,999...
9x = 9
x = 1

Jadi 0,999... = 1.

Pembuktian dengan deret tak terhingga :

0,999... adalah bagian dari deret 0,9;0,99;0,999;...
Perhatikan bahwa bilangan dalam deret semakin lama semakin mendekati 1, dimana limitnya adalah 1.

Bukti deret tak terhingga akan sama dengan 1 : 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1

0,999... dapat digambarkan sebagai deret :

0,999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...

Dengan rumus deret ukur = a1 /(1 - r) akan diperoleh : 9/10 / (1 - 1/10) = 1

Implikasinya : Any rational number that is a non-repeating decimal can be expressed as a repeating decimal.

Karena 0,999... = 1, maka 0,0999... = 0,1 dan 0,00999... = 0,01 dst.