Teknik Menguadratkan Suatu Bilangan

1. Kuadrat jumlah suatu bilangan (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
a. Jika terdiri dari dua angka
Contoh 1 : 92^2 = ....
Untuk mempermudah dalam melakukan perhitungan, maka dapat diilustrasikan sebagai berikut.
1) Pisahkan antara puluhan dan satuan : (90 + 2)^2
2) 90^2 + (2 x 90 x 2) + 2^2 = 8100 + 360 + 4 = 8464
Contoh 2 : 78^2 = ....
= (70 + 8)^2 = 70^2 + 2(70 × 8) + 8^2 = 4900 + 1120 + 64 = 6084
b. Jika terdiri dari tiga angka
Contoh 1 : 124^2 = ....
124^2 = (100 + 20 + 4)^2
= 100^2 + 2(100 × 20) + 2(100 × 4) + 2(20 × 4) + 20^2 + 4^2
= 10000 + 4000 + 800 + 160 + 400 + 16
= 15.376
Contoh 2 : 212^2 = ....
Penyelesaian:
212^2 = (200 + 10 + 2)^2
= 200^2 + 2(200 × 10) + 2(200 × 2) + 2(10 × 2) + 10^2 + 2^2= 40.000 + 4.000 + 800 + 40 + 100 + 4
= 44.944

2. Dengan selisih kuadrat bilangan
Contoh : 98^2 = ....
a. Dari bilangan dasarnya (98), ditambahkan suatu bilangan agar menjadi mudah untuk dikalikan.
Misalkan ditambah 2 menjadi 100
b. Agar seimbang, maka kurangkan bilangan dasar (98) dengan bilangan yang sama : 98 – 2 = 96
c. Kalikan kedua bilangan: 100 × 96 = 9600
d. Tambahkan hasilnya dengan 2 kuadrat : 9600 + 2^2 = 9604
Cara-cara di atas dapat dituliskan seperti berikut :
98^2 = (98 + 2) × (98 – 2) + 2^2
= 100 × 96 + 2^2
= 9600 + 4
= 9604
Berikut adalah pembuktiannya :
98^2 = (98 + 2) × (98 – 2) + 2^2
= (98 × 98) + (98 × (-2)) + (2 × 98) + (2 × -2) + 2^2
= (98 × 98) – (98 × 2) + (98 × 2) – 4 + 4
= 98^2

3. Memangkatkan suatu bilangan yang bilangan akhirnya 5
Contoh 1 : 35^2 = ....
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
a. Pisahkan satuannya
b. Kuadratkan puluhannya dan tambahkan dengan bilangan puluhan: 3^2 + 3 = 12
c. Kuadratkan satuannya 5^2 = 25, dan tuliskan jawabannya dibelakang jawaban sebelumnya (12), sehingga menjadi 1225. Jadi 35^2 = 1225
Contoh 2 : 75^2 = ....
a. (7 × 7) + 7 = 49 + 7 = 56
b. Tambahkan belakang jawaban dengan 25, menjadi: 5625
c. Jadi 75^2 = 5625
Contoh 3 : 125^2 = ....
a. (12 × 12) + 12 = 144 + 12 = 156
b. Tambahkan belakang jawaban dengan 25, menjadi: 15625
c. Jadi 125^2 = 15625
Berikut adalah pembuktiannya :
Untuk setiap bilangan yang angka terakhirnya 5 dapat dituliskan sebagai A + 5, A adalah kelipatan 10. Karena A merupakan kelipatan 10, maka dapat dituliskan menjadi 10b + 5.
(10b + 5)^2 = (100b^2 + 2(10b × 5) + 5^2
= 100b^2 + 100b + 25
= 100b(b + 1) + 25
Karena b merupakan kelipatan 10, maka dapat kita tuliskan b(b +1), dan b dapat digantikan dengan puluhan, ratusan, maupun ribuan.

4. Menguadratkan suatu bilangan besar secara cepat
Contoh 1 : 12^2 = ….
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
a. Tuliskan 12 dan beri garis di bawahnya seperti berikut.
1 2
b. Tuliskan kuadrat dari bilangan 1 dan 2 dan tuliskan di bawah angka 1 2 dan tuliskan angka 0 di depan hasil kuadrat bilangan-bilangan tersebut jika hasilnya bilangan 1 angka.
Oleh karena 1 × 1 = 1 dan 2 × 2 = 4, maka dituliskan
      1 2
0 1 0 4
c. Kalikan angka pertama dan kedua bilangan yang dikuadratkan, kemudian kalikan dengan dua, sehingga diperoleh hasil 1 × 2 × 2 = 4. Tuliskan bilangan 4 di bawah 0 (angka kedua dari kanan) pada bilangan 0104.
      1 2
0 1 0 4
   0 4
d. Tambahkan dua baris terakhir dan hilangkan bilangan nol yang pertama, sehingga diperoleh hasil seperti berikut.
      1 2
0 1 0 4
   0 4   
   1 4 4
Contoh 2 : 52^2 = ….
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
a. Tuliskan 52 dan beri garis di bawahnya seperti berikut.
5 2
b. Tuliskan kuadrat dari bilangan 5 dan 2 dan tuliskan di bawah angka 52. Oleh karena 5 × 5 = 25 terdiri dari 2 angka, maka kita tidak perlu menambahkan angka 0 di depannya. Sebaliknya, 2 × 2 = 4, maka perlu ditambahkan 0 di depan angka 4 karena hasil kuadrat bilangan 2 terdiri dari 1 angka. Hasil tersebut dapat dituliskan seperti berikut.
      5 2
2 5 0 4
c. Kalikan angka terakhir dan pertama, kemudian kalikan dengan dua, sehingga diperoleh hasil 2 × 2 × 5 = 20. Tuliskan bilangan 20, maju satu bilangan dari kanan pada bilangan 2504 seperti berikut.
      5 2
2 5 0 4
   2 0
d. Tambahkan dua baris terakhir sehingga diperoleh hasil seperti berikut.
      5 2
2 5 0 4
   2 0   
2 7 0 4

Marilah kita coba menguadratkan bilangan 3 angka dan 4 angka seperti contoh berikut.
Contoh 1 : 214^2 = ….
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
a. Kuadratkan masing-masing bilangan, apabila hasilnya kurang dari 10, maka tambahkan 0 di depan hasil. (2 × 2 = 4, 1 × 1 = 1, 4 × 4 = 16). Hasilnya yang dituliskan adalah 040116.
b. Kalikan bilangan pertama dan kedua (2 × 1) serta bilangan kedua dan ketiga (1 × 4). Masing-masing kalikan dengan 2 (2 × 1 × 2 = 4 dan 1 × 4 × 2 = 8). Karena semua hasilnya kurang dari 10, maka hasil dapat dituliskan sebagai 0408.
c. Kalikan bilangan pertama dan terakhir, kemudian kalikan dengan 2 (2 × 4 × 2 = 16).
d. Tuliskan semua hasilnya dengan ketentuan, hasil pada baris kedua diletakkan satu angka di depan angka terakhir, demikian seterusnya seperti berikut,
0 4 0 1 1 6
   0 4 0 8
      1 6       
   4 5 7 9 6
Jadi 214^2 = 45796.
Contoh 2 : 4738^2 = ....
Langkah-langkanya adalah sebagai berikut.
a. Kuadratkan masing-masing bilangan, apabila hasilnya kurang dari 10, maka tambahkan 0 di depannya. (4 × 4 = 16, 7 × 7 = 49, 3 × 3 = 9, 8 × 8 = 64). Hasilnya dapat dituliskan 1 6 4 9 0 9 6 4
b. Selanjutnya, kalikan dengan dua bilangan-bilangan pada angka berikut.
1) Pertama (4) dan kedua (7) : 4 × 7 × 2 = 56
2) Kedua (7) dan ketiga (3) : 7 × 3 × 2 = 42
3) Ketiga (3) dan keempat (8) : 3 × 8 × 2 = 48
Tuliskan hasilnya, berurut mulai dari atas 5 6 4 2 4 8
c. Kemudian, kalikan dengan dua bilangan-bilangan pada angka berikut.
1) Pertama (4) dengan ketiga (3) : 4 × 3 × 2 = 24
2) Kedua (7) dengan keempat (8) : 7 × 8 × 2 = 112
Bilangan pertama (1) pada 112 tambahkan dengan bilangan terakhir (4) pada 24, sehingga hasilnya adalah 2512, mengapa demikian?
Tuliskan hasilnya seperti berikut.
d. Kalikan bilangan pertama dan terakhir, kemudian kalikan dengan 2. Hasilnya adalah 4 × 8 × 2 = 64.
e. Keseluruhan hasilnya dapat dituliskan seperti berikut.
1 6 4 9 0 9 6 4
   5 6 4 2 4 8
      2 5 1 2
         6 4           
2 2 4 2 8 6 4 4
Jadi 4738^2 = 22448644.
Contoh 3 : 3541235^2 = ….
Dengan langkah yang sama, maka akan diperoleh hasil seperti berikut.
0 9 2 5 1 6 0 1 0 4 0 9 2 5
   3 0 4 0 0 8 0 4 1 2 3 0
      2 4 1 0 1 6 0 6 2 0
         0 6 2 0 2 4 1 0
            1 2 3 0 4 0
               1 8 5 0
                  3 0                  
1 2 4 4 0 3 4 5 3 2 5 2 2 5
Cara-cara di atas adalah sebagai suatu alternatif dalam menghitung kuadrat suatu bilangan.
Tentu saja yang utama adalah semakin banyak Anda berlatih menguadratkan suatu bilangan, maka Anda akan dapat melakukannya dengan cepat.
Selamat berlatih dan semoga Anda dapat menemukan cara menguadratkan suatu bilangan lainnya.

Referensi
Pujiati. 2010. Pembelajaran Perpangkatan dan Penarikan Akar Pangkat Suatu Bilangan di Sekolah Dasar (Modul Matematika SD Program BERMUTU). Yogyakarta: PPPPTK Matematika.