Soal Olimpiade Matematika 2

1). p, q dan r adalah bilangan bulat positif.
p x p = q
q - p = r
p + p = r
Nilai dari p + q + r = ...

2). Tentukan angka satuan dari 3^555 = ...

3). Ada berapa banyak angka pada hasil perkalian 2^2004 x 5^2005 ?

4). Bilangan 23a23b habis dibagi 8 dan 9.
Nilai a x b = ... .

5). a, b, 15, c, d, ... adalah barisan aritmetika.
Nilai dari a + b + c + d = ... .

6). p, q, 20, r, s, ... adalah barisan geometri
Nilai dari p x q x r x s = ... .

7). Bilangan pecahan untuk bilangan desimal 0,11111... adalah ....

8). Suatu pekerjaan, jika dikerjakan oleh Doni akan selesai dalam 18 hari. Jika dikerjakan oleh ibunya akan selesai dalam 12 hari dan jika dikerjakan bapaknya akan selesai dalam 9 hari. Berapa hari pekerjaan itu akan selesai jika dikerjakan oleh ketiganya ?

9). Nilai dari (1- 1/2)(1- 1/3)(1- 1/4)(1- 1/5) ... (1- 1/2012) = ...

10). Suatu kereta api bergerak dari stasiun A menuju stasiun B. Kereta api akan tepat waktu jika berjalan dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam. Dan kereta akan terlambat 5 menit jika berjalan dengan kecepatan rata-rata 50 km/jam.
Berapakah jarak antara stasiun A dan stasiun B ?

Pembahasan :

Nomor 1 :
(p x p) - p = 2p
p - 1 = 2
p = 3, q = 3 x 3 = 9, r = 2 x 3 = 6
p + q + r = 3 + 9 + 6 = 18

Nomor 2 :
Angka 7, karena angka satuan 3^x akan berulang setiap x kelipatan 4.
3^1 = 3
3^2 = 9
3^3 = 27
3^4 = 81
3^5 = 243 dst.
Sehingga angka satuan 3^555 = 3^(555 mod 4) = 3^3 = 27 adalah 7

Nomor 3 :
2^2004 x 5^2005 = 2^2004 x 5^2004 x 5 = 10^2004 x 5
10^1 = 10 (2 digit), 10^2 = 100 (3 digit), 10^3 = 1000 (4 digit), dst.
Jadi 10^2004 x 5 ada 2005 digit.

Nomor 4 :
Sebuah bilangan akan habis dibagi 8 jika 3 digit terakhir (ratusan, puluhan dan satuan) habis dibagi 8.
Karena : Semua bilangan kelipatan 1000 jika dibagi 8 akan habis.
23a23b habis dibagi 8 jika b genap (0, 2, 4, 6, ...) dan 23b habis dibagi 8, maka b = 2

Sebuah bilangan akan habis dibagi 9 jika jumlah semua digit habis dibagi 9.
Karena : Semua bilangan dikalikan 10, 100, 1000, ... jika dibagi 9 akan memberikan sisa bilangan itu sendiri (kecuali 9 mod 9 = 0)
Contoh :
1 mod 9 = 10 mod 9 = 100 mod 9 dst = 1
2 mod 9 = 20 mod 9 = 200 mod 9 dst = 2
3 mod 9 = 30 mod 9 = 300 mod 9 dst = 3
4 mod 9 = 40 mod 9 = 400 mod 9 dst = 4
5 mod 9 = 50 mod 9 = 500 mod 9 dst = 5
6 mod 9 = 60 mod 9 = 600 mod 9 dst = 6
7 mod 9 = 70 mod 9 = 700 mod 9 dst = 7
8 mod 9 = 80 mod 9 = 800 mod 9 dst = 8
9 mod 9 = 90 mod 9 = 900 mod 9 dst = 0
23a232 habis dibagi 9 jika 2 + 3 + a + 2 + 3 + 2 = 9, jadi a = 6.
Maka a x b = 6 x 2 = 12

Nomor 5 :
b = a + x,
15 = b + x = a + 2x, b = 15 - x, a = 15 - 2x
c = 15 + x,
d = c + x = 15 + 2x.

a + b + c + d = (15 - 2x) + (15 - x) + (15 + x) + (15 + 2x) = 60.

Nomor 6 :
q = pa
20 = qa = p(a^2), q = 20/a, p = 20/(a^2)
r = 20a
s = ra = 20(a^2 )
p x q x r x s = 20/(a^2) x 20/a x 20a x 20(a^2) = 160000.

Nomor 7 :
1/9 = 0,111...

Nomor 8 :
A/D = 18, A/I = 12, A/B = 9
A / (D + I + B) =
A / (A/18 + A/12 + A/9) =
A / (2A/36 + 3A/36 + 4A/36) = A / (9A / 36) = 1 / 1/4 = 4.

Nomor 9 :
1/2 x 2/3 x 3/4 x 4/5 x ... x 2011/2012 =  1/5 x ... x 2011/2012 = 1/2012.

Nomor 10 :
v = s / t, 60 km / jam = 1 km / menit, s = t, s dalam km, t dalam menit.
s = 50/60 (t + 5) = 5s/6 + 25/6
s - 5s/6 = 25/6
s/6 = 25/6, s = 25 km.