SOAL LATIHAN OLIMPIADE

1. Untuk setiap m, kurva y=(m−1)x+n+2 selalu melalui titik A. Koordinat titik A adalah ...
2. Angka satuan dalam 31001.71002.131003 adalah ...
3. Banyaknya digit dalam 416 x 525 jika dituliskan dalam bilangan tidak berpangkat adalah ....
4. Sebuah toko menetapkan harga suatu barang dalam dollar dan cents demikian hingga jika ditambahkan pajak penjualan 4%, tidak perlu diadakan pembulatan sebab hasilnya tepat n dollar. Nilai terkecil untuk  n adalah ...
5. Andaikan x = 0,123456789101112...998999 yang angkanya diperoleh dengan menuliskan berurutan dari 1 hingga 999. Angka ke 1983 di sebelah kanan desimal adalah...
6. Jika a dan b adalah bilangan real positif dan masing-masing persamaan x2+ax+2b=0 dan x2+2bx+a=0 mempunyai akar real. Nilai minimun a + b = ....
7. Luas permukaan suatu balok adalah 22 cm2 dan panjang semua rusuk-rusuknya 24 cm. Panjang diagonal ruangnya adalah ....
8. 12+44+98+1616+2532+...= ...
9. Jika diketahui bahwa 14y2−20y+48−−−−−−−−−−−−−√+14y2−20y−15−−−−−−−−−−−−−√=9, maka tentukan nilai dari 14y2−20y+48−−−−−−−−−−−−−√−14y2−20y−15−−−−−−−−−−−−−√.
10. 15−10+1+15−9+1+...+15−1+1+150+1+...+1510+1=
11. Tiga orang pelari A, B, dan C berlomba dengan menempuh lintasan yang sama. Ketika pelari A mencapai finish, pelari B tertinggal 12 yard dan pelari C tertinggal 18 yard. Sedangkan pelari B mencapai finish, pelari C masih tertinggal 8 yard. Berapakah panjang lintasan yang mereka tempuh jika diasumsikan mereka berlari dengan kecepatan konstan?(dalam yard)
12. 5x+1−51−x=11. Tentukan nilai x!
13. Nilai dari 1+28.29.30.31−−−−−−−−−−−−√ adalah ...
14. Dari gambar di samping, ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ...
15. Koordinat titik pada garis y = 2x-15 yang terdekat dengan titik asal adalah ...
16. Diketahui seperti tergambar di atas. Titik A, B, dan C terletak pada lingkaran yang berpusat di O. Jika ∠AOC=60∘, maka ∠OCB−∠OAB= ...

Jawaban :

1. y=(m−1)x+m+2 
Kita tidak dapat mengetahui nilai m-nya karena nilai dari m tersebut sebarang. 
Yang dicari di soal ini adalah untuk sebarang nilai m kita harus mencari koordinat yang selalu dilewati grafik tersebut. 
Perhatikan untuk x=−1 nilai dari y tidak tergantung nilai dari m, 
maka subtitusi x=−1 kita dapat y=3. 
Berarti koordinat yang selalu dilalui adalah titik (−1,3)

2. Angka satuan sama dengan sisa pembagian dengan 10.

31001⋅71002⋅131003(mod10)=====(3⋅7)1001⋅7⋅31003(mod10)1⋅7⋅3⋅31002(mod10)31002(mod10)34k+2(mod10)9(mod10).

3. Jawabannya 28 digit.

416⋅525====232⋅525(2⋅5)25⋅27128⋅1025128000…028 digit.

4. x + 0.04x = n, 1,04x = n, x > 10, 0,4x = 1, x = 2.5, x = 10 + 2.5 = 12.5
diperoleh n terkecil  13 dengan harga sebelum pajak 12,50 dollar

5. Angka dua digit habis pada 9+90.2=189 digit pertama. 

Sehingga masih dibutuhkan 1983−189=1794 

Angka itu diperoleh 17943=598, jadi angka ke-1983 adalah 8

6. x^2 + ax + 2b = x^2 + 2bx + a = 0. Karena a dan b positif, maka x harus negatif.
Misalkan x = -1
1 - a + 2b = 0, a = 1 + 2b
1 - 2b + a = 0
1 - 2b + 1 + 2b <> 0
Misalkan x = -2
4 - 2a + 2b = 0, a = 2 + b
4 - 4b + 2 + b = 0
6 - 3b = 0, b = 2, a = 5
a + b = 5 + 2 = 7
7. Perhatikan bahwa diagonal ruang suatu balok adalah p2+l2+t2−−−−−−−−−√. Dari luas permukaan balok didapat persamaan 

2(pl+lt+tp)pl+lt+tp==2211.

Dari panjang sisi-sisi balok didapat

4(p+l+t)p+l+t==246.

 Maka diagonal ruangnya didapat dengan cara

p2+l2+t2p2+l2+t2−−−−−−−−−√====(p+l+t)2−2(pl+lt+tp)36−221414−−√.

8. Un = n^2 / 2^n,
Sn = 1/2n (a + Un) = 1/2n (1/2 + n^2 / 2^n) = n/4 + n^3 / 2^(n+1)

9. Idenya sederhana.

x9x9x9xx=====14y2−20y+48−−−−−−−−−−−−−√−14y2−20y−15−−−−−−−−−−−−−√(14y2−20y+48−−−−−−−−−−−−−√+14y2−20y−15−−−−−−−−−−−−−√)(14y2−20y+48−−−−−−−−−−−−−√−14y2−20y−15−−−−−−−−−−−−−√)14y2−20y+48−(14y2−20y−15)637.

10. Perhatikan bahwa 15−a+1+15a+1=1. Maka

===15−10+1+15−9+1+…+15−1+1+150+1+…+1510+110+150+11012212.

11. S = Va x t1, S = Vb x t1 + 12, S = Vc x t1 + 18, S = Vb x t2, S = Vc x t2 + 8
t1 = S / Va, S = VbS/Va + 12, S = VcS/Va + 18, t2 = S / Vb, S = VcS/Vb +8
VbS/Va + 12 = VcS/Va + 18, VbS = VcS + 8Vb
(Vb - Vc)S = 6Va, (Vb - Vc)S = 8Vb
6Va = 8Vb
Va = 4/3Vb
S = VbS/Va + 12
S = 3S/4 + 12
S/4 = 12
S = 48 yard
 

12.

13. Bentuk tersebut merupakan penjabaran dari bentuk (n(n+1) – 1)²
Karena (n(n+1) – 1)² = (n-1)n(n+1)(n+2) + 1
Akar kuadrat dari (n(n+1) – 1)² = n(n+1) – 1
Jadi, akar kuadrat dari 1+28.29.30.31= 29.30-1= 869.

14.

15. Titik A (7.5, 0), titik B (0, -15)
 Luas Segitiga OAB = 1/2 x 15 x 7.5 = 56.25
Garis AB = akar(7.5^2 + 15^2) = 16.77
1/2 x 16.77 x t = 56.25, t = 6.7

16.Misalkan BOC = X.
Maka OCB = (180 - X) / 2 = 90 - X/2
Dan OAB = (180 - (60 + X)) / 2 = 60 - X/2
OCB - OAB = 90 - X/2 - (60 - X/2) = 30

Buktinya :
OA = OB = OC, AOC = OAC = OCA = 60.
Jika OA // BC, maka OCB = 60, dan BOC = 60
Sehingga BOA = 60 + 60 = 120, OAB = OBA = 30
OCB - OAB = 60 - 30 = 30

Jika BO dan OA segaris (OAB = OBA = 0), maka BOC = 120
Sehingga OCB = OBC = 30
OCB - OAB = 30 - 0 = 30